三 05
这已经是我念高中时候的事情了。当时的《科学画报》还是什么科普杂志上登过一个问题：
你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？
这个问题到今天还在互联网上被讨论着，看看搜索结果都觉得骇人。它的原作者是玛丽莲(Marilyn vos Savant)，美国专栏作家。她在《Parade》杂志上主持一个叫做“Ask Marilyn”的专栏，回答读者的各种问题。1991年，她提出了这个著名的玛丽莲问题（Behind Monty Hall’s Doors）。
答案是要换，中奖概率提升至2/3。
这道题的关键在于，电视台主持人是知道哪一扇门背后有车的。如果他也不知道，碰巧打开了一扇没有车的门，那么换不换没有必要，概率都是1：1。
但是，如果他知道正确答案，那么在你选定一扇门之后，他帮你排除了一扇门，就不可以再按照这种算法计算概率。因为他的这个选择已经影响到了答案：
你选择好的那扇门，中奖概率是1/3。剩下的两扇门是2/3。
主持人打开其中一扇，帮你做了排除，那么剩下的这扇门独占了原先两扇门的2/3的概率。
所以，换一下选择，你的中奖概率就从1/3上升到了2/3，应该去换。
同样，我相信在这个帖子下面，还会有N多人提出不同的看法和意见，而且很可能彼此还要吵起来。既然如此，不如再翻个老帖子出来，让大家接着吵：
三月 5th, 2009 at 10:58 下午
三月 5th, 2009 at 11:20 下午
主持人打开其中一扇，帮你做了排除，那么剩下的这扇门独占了原先两扇门的2/3的概率。
--------------------------------------------------------------
这个解释我觉得有问题，如果是打开的那扇的门在打开前为1/3的概率，那么打开后，代表的概率便为0.那么剩下的那扇门如果是两扇门的概率之和，应该是1/3+0=1/3。恰恰玛丽莲原先所选择的那扇门的概率升为2/3。这也符合人们的主观感觉。
三月 5th, 2009 at 11:26 下午
去年有部电影《玩转21点》提到过这个问题
三月 5th, 2009 at 11:26 下午
换,就是赌你自己选到的是山羊，而选到山羊门的概率就是2/3
三月 5th, 2009 at 11:27 下午
http://www.douban.com/review/1381617/
认真看看，应该争议不大
影片开头部分提到了一个很有名的问题：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆车，其余两扇后面则是羊。你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有羊的门，假设是3号门。然后他问你：“你想选择2号门吗？”你会如何回答？
显然应该选最有可能赢得车的做法。实际上，这是一个用概率论可以轻松搞定的问题，但是，历史上这个问题刚被提出的时候却引起了相当大的争议。这个问题源自美国电视娱乐节目Let’s Make a Deal，内容如前所述。作为吉尼斯世界纪录中智商最高的人，Savant在Parade Magazine对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有2/3的概率赢得车，不换的话概率只有1/3。她的这一解答引来了大量读者信件，认为这个答案太荒唐了。因为直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有，这个信息会改变剩余的两种选择的概率，哪一种都只能是1/2。持有这种观点的大约有十分之一是来自数学或科学研究机构，有的人甚至有博士学位。还有大批报纸专栏作家也加入了声讨Savant的行列。在这种情况下，Savant向全国的读者求救，有数万名学生进行了模拟试验。一个星期后，实验结果从全国各地飞来，是2/3和1/3。随后，MIT的数学家和阿拉莫斯国家实验室的程序员都宣布，他们用计算机进行模拟实验的结果，支持了Savant的答案。
当然，原问题的描述确实有一些含混不清的成分，如果加上下述条件可以使这个答案更准确：
1、参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有甚么。
2、主持人知道每扇门后面有什么。
3、主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
4、主持人永远都会挑一扇有羊的门。
5、如果参赛者挑了一扇有羊的门，主持人必须挑另一扇有羊的门。
6、如果参赛者挑了一扇有车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有羊的门。
7、参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
这样，问题的答案是：可以。当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。因为：
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)
参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。转换将赢得车。
参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。转换将赢得车。
参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
可以看出，这是一个概率论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基于量化的判断的时候，要以事实和数据为依据，而不要凭主观来决定。否则，想当然的结果往往会在我们不自知的情况下，把我们引入歧途。如片中的老师所说：在校园里骑车可比骑头羊要酷多了。问题是你要做出正确的选择，而这需要以事实为依据。
【注】前文提到的这个问题的历史参考自http://tieba.baidu.com/f?kz=114972828
三月 5th, 2009 at 11:32 下午
我是学统计学的，觉得解释得很到位，但相信还有非常多的人想不明白的。就算我跟别人解释，也很难解释清楚的。
三月 5th, 2009 at 11:32 下午
既然排除了一扇门，那么剩下两扇门的概率就各为1/2
把打开的那扇门的1/3概率单独加到剩下两扇门的任意一个都不好吧？
三月 5th, 2009 at 11:45 下午
情况果然和我预料的一样，依然有大把的人觉得是1：1。
那么，如果是4扇门的话，主持人每次都打开一扇有羊的门，你采取什么策略？
为什么？
三月 5th, 2009 at 11:45 下午
参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。转换将赢得车。
参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。转换将赢得车。
参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
----------------------------------------
这个解释很到位了。而且主持人知道答案这个前提必不可少。
三月 5th, 2009 at 11:52 下午
好像并没有大把大把的人认为是1：1呀
我承认下次在回答前，有必要先在网上搜寻一下
和菜头其实就扮演的是那个电视台主持人的角色呀
呵呵
三月 5th, 2009 at 11:56 下午
这个问题留到明天上班
大家帮我看一下我对飞机起飞的分析有没有问题
睡了
三月 5th, 2009 at 11:57 下午
5楼这么一解释
就恍然大明白了
三月 6th, 2009 at 12:18 上午
笑死了, 看到逗逗为山寨店愁.
谁写过一篇博来着, "山寨就是DIY，就是自己动手丰衣足食。而且，它的背后有一句潜台词：你做不了，那么换别人来。" 看来好象你做得了的, 我也可以做鸟. 哈哈.
"对于山寨的批评在我看来基本上是扯蛋，山寨和创新、知识产权没有丝毫的关系。"
吼吼, 不知道她有没有想过说不定是你的博文鼓动别人干的呢!
三月 6th, 2009 at 12:26 上午
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)
参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。转换将赢得车。
参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。转换将赢得车。
参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
-----------------------------
这个说法有问题。实际上
有四种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/4)
参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。转换将赢得车。
参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。转换将赢得车。
参赛者挑汽车，主持人挑一号羊。转换将失败。
参赛者挑汽车，主持人挑二号羊。转换将失败。
三月 6th, 2009 at 12:50 上午
在主持人知情且主持人一定不会打开奖品门的前提下，把问题扩大到10000扇门，主持人帮你排除了9998扇，剩下两扇，人的直觉也自然会懂得换还是不换了。
三月 6th, 2009 at 12:52 上午
最简单的判断，一百个们，你选了一个
，主持人开了98个，都没有，还剩一个门未知，你换不换？
三月 6th, 2009 at 12:55 上午
呵呵，解释地相当不清楚。虽然我是第一次看而且被骗了。
实际上这个问题相当于你第一次选的时候把门分成2部分，你选的和你没有选的。然后第二次就是让你判断哪一部分有车，当然是有2道门的那部分可能性大了
三月 6th, 2009 at 1:09 上午
这个已经是一个经典问题了，和彩头解释的很清楚了。8过，很多人还是会搞不清。
三月 6th, 2009 at 1:19 上午
我觉得1：1，这个取决于主持人，主持人决定哪个是正确的答案的比例是1：1
三月 6th, 2009 at 1:35 上午
question：
知道14楼的错误在哪里么？
三月 6th, 2009 at 1:38 上午
主持人知不知道车在哪号门下没有关系，关键在于我们知道车不在二号门下。这是一个讲解条件概率的经典例子（连续使用了两次），正式解法如下：
令事件 Di = {汽车在 i 号门后}，事件 A = {1 号门被选择之后，2 号门打开，羊在其中}。
根据假设 P(Di)=1/3。
如果车在 1 号门下，则 2 号和 3 号各有一个羊：P(A|D1)=1/2。
根据假设，车不在 2 号门下：P(A|D2)=0。
如果车在三号门下，主持人又不能打开一号门，那羊必然在 2 号门下：P(A|D3)=1 。
根据分割公式：P(A)= P(A|D1)P(D1)+P(A|D2)P(D2)+P(A|D3)P(D3)=(1/2)(1/3)+(0)(1/3)+(1)(1/3)=1/2
条件概率分别如下：
P(D1|A)= P(A|D1)P(D1)/P(A) = (1/2)(1/3)/(1/2) = 1/3
P(D2|A)= P(A|D2)P(D2)/P(A) = (0)(1/3)/(1/2) = 0
P(D3|A)= P(A|D3)P(D3)/P(A) = (1)(1/3)/(1/2) = 2/3
所以换门。
这和主持人知不知道车在哪里没有关系。关进仅仅在于押下 1 门后，车不在 2 号门中。
三月 6th, 2009 at 1:41 上午
刚才的假设是：参赛者选了 1 号门。（我们可以随意给三个门编号。）
三月 6th, 2009 at 2:42 上午
我不换
我不会开车
但我喜欢吃羊肉
在城市里想买只羊可不是件简单的事情...
其实上面的解释都太复杂了
可以这么说
一开始选到车的概率是1/3
一开始选到羊的概率是2/3
选择换
一开始选到车的会得到羊（1/3）
一开始选到羊的会得到车(2/3)
三月 6th, 2009 at 2:57 上午
另外~我觉得没什么该不该换的
显然这种选择只有一次机会
只有一局的赌博没有道理可以讲
坚持了正确的选择是大幸
换走了原本正确的选择是大不幸
选择不换的话~有1/3的概率得到大幸~有3/3的概率避免大不幸
这样想的话~该不该换呢？
人的微妙情绪终究不是靠概率决定的
除非真是理智到极点~甘愿承受可能袭来的懊恼~悔恨
。。。我好像扯远了
三月 6th, 2009 at 3:03 上午
继续扯
我觉得回复中那些理直气壮的说1：1的家伙们身上有着种很可贵的品质~他们就是不鸟什么正确答案~想到什么不对的就直接说出来
相比之下~一直等到自己想出“正确答案”才敢发言的人~并没有什么高明之处
三月 6th, 2009 at 3:20 上午
14楼显然是错了，因为一共只有三道门，你却选了四次。9楼是我看到的最聪明的解释了，结合3楼的强大解释就更加明白了。
三月 6th, 2009 at 4:52 上午
第一次看这电影的时候觉得挺有道理,现在好像觉得又不是.
是不是也可以说,
如果我选A,那A.B的概率是2/3,C的概率是1/3.
主持人如果去掉B,那A的概率就是独占2/3,显然不换比较好
如果主持人去掉C,那A的概率就和B的是一样的,换不换都一样的.
是不是可以这样算?
三月 6th, 2009 at 5:12 上午
昏了。。。
看见21楼的注解，猛然间发现高三的排列组合都忘光了，当时竟然还做得那么顺手。。。
三月 6th, 2009 at 6:50 上午
这道题目曾经也困惑我很久，不过换一种方式思考就很简单了。
有10000扇门，让你随机选一扇（选中的机会微乎其微）；在主持人知道的情况下，他排除了另外的9998扇，剩下一扇，问你换不换？
三月 6th, 2009 at 6:55 上午
这个问题在电视节目"deal or no deal"上几乎每期都要问一次，如果猜箱子的人能坚持到最后剩两个箱子的话。
你文中的分析是对的。
通常争论的双方各自拥护文中的一个计算方法，但太执着于分析了，其实，现实地看，不管哪种计算方法有理都要换。因为如果概率是1/2的那个说法是对的，那么换不换都一样，而如果概率是2/3的说法是正确的，换就对了。也就是说，不管哪种说法是对的，换了你的概率总不会小于1/2。换又不费你事，不换白不换。
三月 6th, 2009 at 8:26 上午
[...] 上次的“陶哲轩的数学题”引起了很多讨论。面对留言中的争论，我想，如果把以前遇到的2/3概率问题拿出来，更不知争论要到何种激烈程度！今天，槽边往事发表的《玛丽莲问题》，就是这个经典问题： 你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？ [...]
三月 6th, 2009 at 8:38 上午
在这儿争的人，不如两人一组，花半小时做一百次实验就很清楚了。
三月 6th, 2009 at 8:50 上午
我觉得是换，换个角度看，只要坚持换，那么第一次选到山羊就肯定得到车了，而第一次选择山羊的概率2/3。如果不换，那么主持人开不开门都不影响你的选择，那么选到车就只有1/3了。
科学松鼠会有篇文章专门讨论过了
http://songshuhui.net/archives/3266.html
我也是从这篇文章知道这个问题和去看了《决战21点》
三月 6th, 2009 at 9:15 上午
《决策与判断》12章，介绍贝叶斯方法时又提及这个问题，还有那个电影《21》
三月 6th, 2009 at 9:53 上午
看过这个题，支持换。
跟楼上某人说的一样，就是跟有些人解释不清楚呢？
我还曾想做一个实验来测试的。
另外，我把这个例子改成100门，再一个一个去掉，有时还是解释不清楚。
三月 6th, 2009 at 10:48 上午
此类问题 MATRIX67上很多，http://www.matrix67.com/blog/
三月 6th, 2009 at 10:54 上午
数学从小到大挣扎在及格线的人路过。
其实还是没真懂。 但是感谢5楼的详细解释以及14.15楼的形象例子。
三月 6th, 2009 at 10:59 上午
在ft测试上也做过，没有作对，的确很容易出错的。况且最初的题目的前提设定的确不是那么清楚。
三月 6th, 2009 at 10:59 上午
"你选择好的那扇门，中奖概率是1/3。剩下的两扇门是2/3。
主持人打开其中一扇，帮你做了排除，那么剩下的这扇门独占了原先两扇门的2/3的概率。"
主持人开了一扇，另外两扇由原来2/3概率提为1，但两门的概率是相同的1/2，均由1/3提升为1/2,而不是要调换的那个门都占概率提升，换不换都一样!
三月 6th, 2009 at 11:04 上午
情况果然和我预料的一样，依然有大把的人觉得是1：1。
那么，如果是4扇门的话，主持人每次都打开一扇有羊的门，你采取什么策略？
为什么？
-------------------------主持人打开一个门，只是让你做一个N-1门的题，本质上一样，减少的过程是单独选项概率提升的过程。
三月 6th, 2009 at 11:18 上午
好老的问题，我也曾想过一个晚上。换门能够提高概率的答案无疑是正确的，我想说的是如何简单的理解。
1、若想不改变选择选到车：
第一步：概率问题：
若不改变选择，要选到车，则游戏者必须第一次就选中车。此时选中车的概率是1/3（原理详见中学数学课本）。
第二步：必然问题：
因为游戏者不会改变选择，所以，之后主持人的任何行为——开门也好关门也好敲门也好摔门也好——都与游戏者最初做出的选择无关。
最终：概率还是1/3。
2、若改变选择选到车：
第一步：概率问题：
若要通过改变选择选到车，则游戏者必须第一次选中的是羊。此时选中羊的概率是2/3（原理详见中学数学课本）。
第二步：必然问题：
之后，主持人会打开另一扇有羊的门。此时游戏者面对剩下的2扇门，改变选择的方式只有一种，就是选上次没有选的那扇门。（这之中没有几分之几概率的存在。打个简单比方，一个包子和一个馒头放在你面前，你第一步先拿了个包子在手上；然后第二步我叫你“换一个拿”，显然你只能选剩下的那个馒头。在第二步中，你并没有选择包子或馒头的机会。）
最终：选到车的概率还是2/3。
三月 6th, 2009 at 11:19 上午
和师傅的题目叙述的有问题，漏了一些前提条件，7楼和9楼的补充很重要：主持人必须知道每个门后面有什么。如果主持人知道，换门后中奖的几率是2/3。如果主持人不知道，换门后中奖的几率是1/2。解题可以用列表、穷举法。
但即使没有这个假设，如果不清楚主持人是否知道答案，换门后中奖几率则介于1/2和2/3之间。就是说，即使在不知道主持人是否清楚答案的情况下，换门后中奖几率仍大于不换门中奖的几率。
3个、4个箱子都很容易解决。还是用列表穷举的方法。按和师傅的问题，4个箱子的几率是3/4，当然前提是主持人知道答案，不知道答案的结果仍是1/2。由此推断，如果是N个箱子，几率是大于等于1/2，小于等于（N-1）/N。关键在于主持人知不知道答案。所以说，为什么这类电视娱乐节目中主持人总是故弄玄虚，扰乱参与者的判断力。
具体数值没计算，留给数学专家了。但如果不用高级数学方法，小学生都能解决问题。
三月 6th, 2009 at 11:29 上午
@sansi：
参见我原文第五和第六自然段。然后，你再和我探讨什么叫“叙述有问题”。
4箱子的策略是：不换-换。
扩大到N个箱子的策略是一直不换，直到最后只有两个选择时，再交换。
三月 6th, 2009 at 11:30 上午
此题有视频：
http://jshisan.ycool.com/post.2347550.html
三月 6th, 2009 at 11:38 上午
我解释一下列表方法。以@代表羊，以￥代表车。竖列依次代表1、2、3号门，横列代表参与者的不同选择：
@ @ ￥
@ ￥ @
￥ @ @
无疑，参与者所选1号门是车的几率是1/3。竖列2、3是主持人的选择，如果主持人知道答案，则在第一行，其选择必然是第二个盒子，同理，主持人的选择必然是A2、B3或是C2、C3中的一个。根据游戏规则，参与者可以坚持原来的门，也可以换门，换门的选择是竖列2、3中主持人选择后剩下的部分，则很明显的，换门后获奖的几率提升到了2/3。
如果主持人不知道答案，但已知主持人开的门是羊，则列表中可以剔除第一或第二行，剩下两行三列，则参与者换门后中奖的几率是1/2。
4个门就不论证了。一样的道理。
三月 6th, 2009 at 11:40 上午
不好意思，帖子太长了，没注意。
三月 6th, 2009 at 11:55 上午
不过谁让你公布了答案之后才提出有这么重要的前提的。。。有这么出题的么。。。。。⊙﹏⊙b
三月 6th, 2009 at 11:58 上午
想清楚，收回我前面的话！
如果你不换的话，原来选中金的概率由于N的减少在对方那边累积，你还是最初选中的概率。
三月 6th, 2009 at 12:28 下午
多tmd傻的问题啊，前提是“主持人打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。”，那剩下的不就是50%的几率么？我真的很佩服那些长篇大论的人。想那么多，脑子多根弦，比缺根弦还可怕。。。
三月 6th, 2009 at 12:51 下午
答案是对的，要换。但是我认为菜头说的概率由1/3提升为2/3不对。应为由1/3提升为1/2。所以应重新选择。
三月 6th, 2009 at 1:02 下午
作为一个作秀的抽奖节目，关键不在问题的答案，而在于，要让全世界人民欣赏你在因为这“难题”举棋不定的时候，表现出来的内心的痛苦挣扎和脸部的肌肉抽搐。通常都会给脸部特写，有没有？ 答案是1:1，别看那无厘头的分析，别管别人的结果，用屁股好好想想
三月 6th, 2009 at 2:12 下午
赵二，人家问的不是几率是多少，而是问你要不要换？不过看你这样子肯定是不换的了
三月 6th, 2009 at 2:51 下午
飞机那个问题，我觉得肯定很多人和我之前想的一样，以为飞机是因为达到了滑行的某个速度才飞起来的，而没有考虑到其实机翼那边气流速度比滑行速度快很多。
三月 6th, 2009 at 2:59 下午
我觉得如果知道这两种方法，不能确定何者为真，三十楼的做法最实在。还是让我们用抛硬币法去战胜这道题吧。^_^
三月 6th, 2009 at 3:13 下午
有一种办法可以让不容易明白这个问题的人明白。
假设有N个门，N等于10000，
就是有10000个门，只有一个后面有山羊，如果你随便指定一个，然后主持人告诉你剩下9999个门中的9998个门后面是没有羊的。（当然主持人是知道那个后面有羊的）。这个时候问你换不换？我想大部分都会选换的。开始你选中的概率越低，换了以后，选中的概率越高。开始你选中的概率是万分之一，换了后，就变成9999/10000的概率。
当N为3的时候，同样道理，也应该换。
有时候可以极端化一个问题，我就是这样解释给其他人的，还没有碰到不明白的。
三月 6th, 2009 at 3:29 下午
21楼正解。有些人之所以犯1：1的错误，是因为他们认为既然主持人将排除掉一个羊门，那么初始的选择就应被视为是在两个门中进行，这样选中汽车的概率就是1/2。但实际上主持人的排除是条件于参与者的初始选择，并不是事先完成。因此，参与者并不只是与两个门作战斗。
三月 6th, 2009 at 3:30 下午
从数学期望的角度上来说，假如把车的收益当成1，羊的收益当成0，一开始抽到汽车的概率为1/3 (此时换了以后收益从1变成0），抽不到的概率为2/3（此时换了以后收益从0变成1）
1. 不换，P ＝ (1/3) * 1 + (2/3) * 0 = 0.33
2. 换，P = (1/3) * 0 + (2/3) * 1 = 0.66
因此从概率的角度上，换了以后得到汽车的概率比原来大两倍
如果是1000个门
1. 不换, (1/1000) * 1 + (999/1000) * 0 = 0.001
2. 换, (1/1000) * 999 + (999/1000) * 1 = 0.999
换比不换的概率大了999倍
三月 6th, 2009 at 3:40 下午
1000个门第二个式子应该是
(1/1000) * 0 + (999/1000) * 1 = 0.999
三月 6th, 2009 at 4:59 下午
http://www.2maomao.com/blog/car-and-goat-ex/
一年前我就详细分析过了：
情况0. 主持人知道答案，并且总会打开没有奖的门，那么选择者更换的结果就是2/3的机会中奖
情况1. 主持人知道答案，并且只在挑战者选择了有奖品的门的情况下提供重选机会，那么更换选择就是100%挂掉
情况2. 如果主持人知道答案，并且只在挑战者选择了没有奖品的门的情况下提供重选机会，更换选择就会100%中奖
情况3. 如果主持人也不知道答案，纯粹瞎蒙蒙找到了一个没奖的门，这时换不换都是50%
情况4. 如果主持人在日期为单号的时候按情况1处理，在日期为双号的时候按情况2处理，那么。。。。。。
大家看出来了吧，概率论很重要，体会主持人的意思更关键:D
三月 6th, 2009 at 8:18 下午
ask marilyn 在考研阅读里出现过...
三月 6th, 2009 at 8:19 下午
参考条件概率中的贝叶斯定律，Matthews的“审讯者谬误”。
三月 6th, 2009 at 9:49 下午
58楼换成无穷多门呢？是不是换了必胜？最后两扇的时候换不换。
三月 6th, 2009 at 10:22 下午
《我的大脑敞开了》http://www.douban.com/subject/1313462/?i=0 是一本关于数学家爱多士的传记。里面提到一句，爱多士在第一次听到这个问题的时候，也判断错误了。不过他很快就想通了怎么回事。
《玩转21点》http://www.douban.com/subject/2156945/?i=0 中，凯文·斯派西扮演的教授考验学生对概率论的分析能力，也是用的这个问题。
三月 6th, 2009 at 10:40 下午
转个别人的回复，相信大家看完就更明白了。
很简单的道理，3个盒子，只有1个里面有宝，你选了1个，剩下的2个我拿了，你愿不愿用你手里1个换我手里两个？都不傻吧。因为我手里2个至少有1个空盒，我可以象主持人那样打开一个给你看，这必然能做到，而这和你的选择有什么关系呢？
三月 6th, 2009 at 10:59 下午
赵二赵二
三月 6th, 2009 at 11:55 下午
好吧，看到这种问题我就晕啦，说明我真的老了么？
三月 7th, 2009 at 12:25 上午
主持人的存在其实只是个障眼，不考虑他问题就简单了：
3个盒子，只有一个里面有车，分两份，A份1个盒，B份2个盒，你选那一份？
想不通的想这一个：
N个盒子(比如1000)，只有一个里面有车，分两份，A份1个盒，B份N-1个盒(例如999)，你选那一份？
当然选盒子多的一份，然后主持人会把其中N-2个空盒(998个)都打开,如果剩下一个还是没有车，大哭吧。
三月 7th, 2009 at 12:45 上午
如果主持人会留下两个盒子，换不换？
同样，选A份(原来的选择)成功概率是1/N，选B份，因为要多做一次二选一，成功概率是(N-1)/N*(1/2)
N=4时，3/4 * 1/2 =3/8
3/8 > 1/4
结论是换，N>4亦然。
和菜头43楼的策略是不对滴～
三月 7th, 2009 at 12:50 上午
再多说一句，主持人知不知道没有关系，换句话说，他和概率无关。关键规则是：他能把N-2个空盒子挑出来。
（要是他挑错了，打开了一个有车的盒子，呵呵， GAME OVER，木得玩了）
三月 7th, 2009 at 11:07 上午
不换：1/N
换：(N-1)/N/(N-2)
三月 7th, 2009 at 11:55 上午
我感觉仅仅是数字游戏吧，概率和结果没有必然联系
三月 7th, 2009 at 3:26 下午
好吧，这种情况下只管换就是了。
三月 7th, 2009 at 5:35 下午
自己也想了种解答
http://niye.name/archives/1016
三月 7th, 2009 at 11:00 下午
65楼感慨什么？呵呵。我话糙理不糙啊。。。
三月 9th, 2009 at 11:01 上午
事前概率是三分之二，事后概率是二分之一。1万个中选择者先选一个，主持者再去掉9998个，在去掉9998个后这时间点以选择者刚要去选时这时间点的观点来看，换的概率高，但以去掉后这时间点的观点看，就是1:1。看了上面的，没有彻底说服我的。。继续与自己战斗中
三月 10th, 2009 at 8:33 上午
和菜头不是学理工的吧。
你的解答错了，不论主持人知道不知道，只要她打开了山羊的门，就应该换。因为打开以后，她和你都已经知道了。
三月 10th, 2009 at 11:22 上午
to 75楼
在去掉9998个后这时间点以选择者刚要去选时这时间点的观点来看，换的概率高
其实不是时间点的问题，是条件的问题。是在这个条件下，换的概率高。
如果去掉9998后，重新把剩下的两个打乱，当然是1：1的概率。但是条件是，并没有打乱。你知道你开始选的那个是哪一个。你也知道你开始选中的可能性是万分之一，所以在这个条件下，应该换。
三月 10th, 2009 at 9:54 下午
@77楼
我选的那个选中的可能性是万分之一，剩下的那个的可能性也是万分之一。。胃疼中。。
三月 10th, 2009 at 10:54 下午
@78楼
你选的那个选中的可能性是万分之一，剩下的那一群的可能性是万分之9999，别忘了主持人会帮你把其中9998个不对的选择去掉，OK？
三月 11th, 2009 at 4:26 下午
@79楼
我说的是“剩下的那个”，是剩下的那一个与刚开始选择者选的那个比，不是一个和剩下的一堆比。主持人把9998去掉，没改变主持人把剩下的那堆去掉9998后剩下的那一个的可能性是万分之一这本质。这问题太无聊了
三月 11th, 2009 at 5:08 下午
to legion
剩下的那个一个，选中的概率是9999/10000
因为你先任意选一个，概率是1/10000
那么山羊在剩下的9999个的概率当然是9999/10000
然后主持人从剩下的9999个，精心去掉了9998个不是的，注意，主持人是知道那个不是的，所以她不是随机选的。所以剩下的那个概率就是9999/10000.
换一个方式说，如果有10000个，其中有一个有山羊，然后主持人帮你去掉了9999个，按照你的说法，那剩下的那个后面有山羊的概率难道还是1/10000么？应该是10000/10000=1才对。
三月 11th, 2009 at 8:09 下午
@阿郞：
10000个去掉9999个，这是一种找削的做法，那是主持人选出来的，是知道的人选出来的，知道的人选出来的机率当然是1。选择者选出一个后，以这人选出的这单个个体成为的单位和剩下的9999个这一堆成为的单位，这两个单位相比，当然9999这个单位机率高；但被主持人挑剩下了一个了，剩的这一个的机率与9999个这一堆的机率，我认为不是一回事。主持人挑剩下的这一个，我仍认为机率是万分之一。这一个的机率怎么会与原来9999个这一堆的机率相同？多谢解释。
三月 12th, 2009 at 9:27 上午
a. 按你的说法10000个去掉9999个，这是一种找削的做法。
被主持人挑剩下了一个了，剩的这一个的机率与10000个这一堆的机率，是一回事，都是一，这是你认同的。
b.
按你的说法9999个去掉9998个，也是一种找削的做法。
那么
被主持人挑剩下了一个了，剩的这一个的机率与9999个这一堆的机率，也是一回事，都是9999/10000。
三月 12th, 2009 at 10:25 上午
别折腾了，3个门研究起来还有意义，再多就没有任何实用价值。 选走第1个后，换比不换后获奖几率只提高了1/n*(n-1)*(n-2)。只有3个门的话，几率也只是从1/2提高到2/3，提高1/6而已。现实生活里电视节目中不可能数量这么少，程前主持过一个类似的节目，好像是24个箱子，取走第一个箱子之后，几率只提高了1/12144，很难想象有个头脑正常的人肯定会为这不到万分之一的几率改变决定。
三月 12th, 2009 at 11:01 上午
和师傅提出4个箱子的问题，意思我明白。因为如果一直不换箱子，几率也会因为箱子总数的减少而提高，数学无比NB的参与者肯定会在因箱子不断减少而增加的几率小于换箱子增加的几率时才会主动换箱子。但是这个想法没有提到那个重要的前提，主持人是知道奖品在那个箱子里的，当他估计得奖概率已经超出他预料的时候，他可以打开箱子让游戏结束，他开箱子可准多了。所以4个箱子的时候可以解释，但n个箱子就完全是另外一种情况了。
三月 13th, 2009 at 3:56 下午
我觉得5楼说的挺有道理的，把它处理成主观概率来搞，分析做换这个动作的胜率，这么想应该思路清楚点。
而且在哪里看资料，说人家美国人做了大量的实验，证明了是换的胜算大点。
三月 16th, 2009 at 12:29 下午
换一个角度来看，你选中的那个门（如果没被你选中），被主持人打开的概率 与 主持人保留的最后没开的概率，从这个角度看，你会知道为什么 主持人知道不知道车在哪里是有关系的。
三月 29th, 2009 at 4:46 下午
我们设有A、B、C三个门，那么本题不外乎有三种情况：
1、A有车，B、C没车
2、B有车，A、C没车
3、C有车，A、B没车
张三选了C后，因为主持人事先知道那个门后面有车，所以他打开的门后面一定是没车的（否则问题就没意义了）。那么：
1、第一种情况下，张三换后就是A门——有车
2、第二种情况，因为B有车，所以主持人会打开A门，张三换后就是B门——有车
3、只有第三种情况，张三本身选了有车的C门，所以换了就没车了。
因此，张三应该换。
六月 5th, 2009 at 12:13 上午
假如有甲、乙两人，甲、乙在互不知情的情况下分别选择了A、C号门，主持人打开了有羊的B号门，那么，甲、乙是否应该互换呢？